Praxistaugliche Bestimmung des Rotationsvermögens – Concrete E-Learning Platform

Link to English version: Practically applicable models for rotation capacity

Ein Teil meiner Forschungsarbeiten beschäftigt sich mit dem Verformungsvermögen biegebeanspruchter Bauteile. Grundsätzlich geht es dabei um die Frage, wie sich beurteilen lässt, ob ein Bauteil ausreichend duktil ist. Dies ist von zentraler Bedeutung für die Umlagerung von Schnittgrössen in statisch unbestimmten Systemen und für den Umgang mit Eigenspannungszuständen. Ist die Duktilität eines Bauteils gering, weil im plastischen Gelenk vor dem Versagen keine grossen Querschnittskrümmungen und damit kein ausreichend grosses Rotationsvermögen erreicht werden können, sind sowohl die Möglichkeiten zur Momentenumlagerung als auch zur Aufnahme von Eigenspannungszuständen eingeschränkt.

In der Regel wird der entsprechende Nachweis des Verformungsvermögens geführt, indem das Rotationsvermögen an den Stellen möglicher plastischer Gelenke mit dem Rotationsbedarf verglichen wird. Dabei ist zu beachten, dass Eigenspannungszustände bei der Bestimmung des Rotationsbedarfs zu berücksichtigen sind, da sie ihn erhöhen können. In diesem Blogpost beginne ich mit der Erläuterung einiger grundlegender Prinzipien zur Bestimmung des Rotationsvermögens:

Ich erkläre, wie hohe Betondruckzonenhöhen und eine geringe Duktilität der Bewehrung das Rotationsvermögen reduzieren und wie dies in den aktuellen Normen berücksichtigt wird.
Dann stelle ich zwei allgemeine Konzepte zur Bestimmung des Rotationsvermögens anhand von Krümmungen vor.

Anschliessend vergleiche ich zwei praxistaugliche Methoden zur Bestimmung des Rotationsvermögens von Stahlbetonquerschnitten:

Ich vergleiche die in der Vorlesung «Advanced Structural Concrete» vermittelte Methode (ursprünglich von Sigrist und Marti entwickelt) Seite an Seite mit der neuen Methode der EN 1992-1-1:2023, wobei ich Details zur praktischen Anwendung erläutere und
ich vergleiche das so bestimmte Rotationsvermögen mit den Ergebnissen von mehr als 100 Versuchen.

Einfluss der Betondruckzonenhöhe und der Duktilitätsklasse der Bewehrung

Die erreichbaren Querschnittskrümmungen werden massgeblich von den Dehnungen der Bewehrung beeinflusst: Mit zunehmender Stahldehnung öffnen sich die Risse weiter, wodurch sich im Bereich des plastischen Gelenks Rotationen ausbilden können. Abbildung 1 zeigt, dass bei kleinen bezogenen Betondruckzonenhöhen $x/d$ Versagen durch Reissen der Bewehrung (blau) eintritt. Weist der Bewehrungsstahl nur eine geringe Bruchdehnung auf (rot), sind die erreichbaren Stahldehnungen und damit auch die Querschnittskrümmungen begrenzt. Dies führt zu einem geringen Rotationsvermögen $\theta_{plu}$ . Bei hohen bezogenen Betondruckzonenhöhen (grün) nimmt das Rotationsvermögen mit zunehmendem $x/d$ ab: Mit zunehmender Betondruckzonenhöhe wird beim Erreichen des Betonbruchkriteriums eine immer kleinere Stahldehnung erreicht. Somit nimmt die erreichbare Querschnittskrümmung und das Rotationsvermögen ab.

Abbildung 1: Rotationsvermögen $\theta_{plu}$ als Funktion der bezogenen Betondruckzonenhöhe $x/d$ ( $\varepsilon_{cu}$ = Betonbruchdehnung, $\varepsilon_{ud}$ = Bruchdehnung der Bewehrung)

Diese Zusammenhänge sind in der Schweizer Norm und im Eurocode abgebildet: Die SIA 262:2025 fordert für die Umlagerung von Schnittgrössen in statisch unbestimmten Systemen einen Nachweis des Verformungsvermögens, wenn $x/d$ > 0.35 oder der Betonstahl nicht den Duktilitätsklassen B500B oder B500C entspricht. Auch für die in der Praxis übliche Vernachlässigung von Eigenspannungszuständen (Zwangsschnittgrössen) muss ein ausreichendes Verformungsvermögen gewährleistet sein. Im neuen Eurocode EN 1992-1-1:2023 ist ein solcher Nachweis bereits ab $x/d$ > 0.25 erforderlich, falls plastische Methoden angewendet werden.

Generelles Konzept für die Modellierung des Rotationsvermögens

Das Rotationsvermögen kann berechnet werden, indem der Verlauf der mittleren Krümmungen über die plastische Länge $L_y$ integriert wird. Dabei ist die plastische Länge definiert als die Länge, über die plastische Verformungen auftreten (siehe Abbildung 2).

(1) $\begin{equation*}\theta_{plu}=\int_{x_{gov}-L_y/2}^ {x_{gov}+L_y/2} \left( \chi_{m,u}(x) - \chi_{m,y}(x) \right) dx \end{equation*}$

Bemerkung: Das Symbol $x$ wird in diesem Beitrag sowohl für die Druckzonenhöhe als auch für die Koordinate entlang der Längsachse des Bauteils verwendet. Die jeweilige Bedeutung ergibt sich aus den Bildlegenden oder dem Kontext.

Vereinfacht kann das Rotationsvermögen durch Multiplikation einer idealisierten plastischen Gelenklänge $L_{pl,id}$ mit der mittleren Krümmung im massgebenden Querschnitt bestimmt werden.

(2) $\begin{equation*} \theta_{plu}=L_{pl,id} \left( \chi_{m,u}(x_{gov}) - \chi_{m,y}(x_{gov}) \right) \end{equation*}$

Das hat den Vorteil, dass der Verlauf der Krümmungen nicht bekannt sein muss. Dafür muss die idealisierte plastische Gelenklänge definiert werden. Durch Vergleich der beiden Ansätze (Abbildung 2) wird klar, dass $L_{pl,id}$ als Produkt eines Integrationsfaktors, der vom Krümmungsverlauf abhängt, und der plastischen Länge $L_y$ interpretiert werden kann. $L_{pl,id}$ wird in der Regel empirisch, durch Vergleich von berechneten und experimentell bestimmten Rotationsvermögen, festgelegt.

Abbildung 2: (a) Bereich mit plastischen Verformungen; (b) Mittlere Krümmung als Funktion der Koordinate $x$ ( $x$ = 0 am Zwischenauflager = Ort des idealisierten plastischen Gelenks).

Bei beiden Ansätzen werden die mittleren Krümmungen bei Fliessbeginn (Index $y$ ) von jenen bei Versagen (Index $u$ ) abgezogen, da nur der plastische Anteil betrachtet wird. Bei beiden Ansätzen muss zudem die mittlere Krümmung im Risselement eingesetzt werden, da die Zugversteifung bei der Bestimmung des Rotationsvermögens einen bedeutenden Einfluss hat. Wird die Zugversteifung nicht berücksichtigt, kann das Rotationsvermögen um einen Faktor > 2 überschätzt werden. Wie die Zugversteifung durch Anwendung des Zuggurtmodells praktisch berücksichtigt werden kann, wird im nächsten Abschnitt genauer erläutert.

Vergleich von zwei Berechnungsmethoden

Hier stelle ich zwei Methoden im Detail vor, die nach dem Prinzip von Formel (2) funktionieren und sich für Handrechnungen eignen:

die Methode nach Sigrist und Marti (Paper, öffentlich verfügbarer Fortbildungskurs «Tragverhalten von Stahlbeton» (Kapitel 9.3) oder Vorlesung «Advanced Structural Concrete» (Kapitel 2.3)), und
die neue Methode nach EN 1992-1-1:2023.

\theta_{plu} = d \left( \min \left( \dfrac{\varepsilon_{smu}}{d-x}, \dfrac{\varepsilon_{cmu}}{x} \right) - \dfrac{\varepsilon_{smy}}{d-x} \right)

\begin{align*}\theta_{plu} = & \dfrac{1}{\gamma_\theta} \cdot 1.3d \biggl(TS_{Mu} \min \left(\dfrac{\varepsilon_{ud}}{d-x_u}, \dfrac{\varepsilon_{cu,d,\rho_w}}{x_u} \right) \\ & - TS_{My} \dfrac{\varepsilon_{yd}}{d-x } \biggr) \quad \text{Formel (7.18)}\end{align*}

Die Formeln für die mittlere Krümmung bei Versagen $\chi_{m,u}(x_{gov})$ unterscheiden zwischen Versagen durch Reissen der Bewehrung (erster Term ist kleiner als der zweite Term, blaue Kurve in Abbildung 1) und durch Bruch der Betondruckzone (zweiter Term ist kleiner als der erste Term, grüne Kurve in Abbildung 2). Das Versagen durch Bruch der Betondruckzone wird durch vereinfachte Versagenskriterien modelliert:

\varepsilon_{cu,d,\rho_w} = 0.002 + \dfrac{1.35}{d}+3\rho_w \leq 0.015

Die Zugversteifung wird bei beiden Methoden mit dem Zuggurtmodell bestimmt:

Sigrist und Marti

EN 1992-1-1:2023

$\varepsilon_{smu}$ und $\varepsilon_{smy}$ können mit Formeln (101)-(103) in der Dissertation von M. Alvarez bestimmt werden (Annahme: bilineares Stoffgesetz für die Bewehrung).
Für die Bestimmung von $\varepsilon_{smu}$ kann die Stahlspannung kann zu $\sigma_{s,max} = f_{td}$ gesetzt werden; für die Bestimmung von $\varepsilon_{smy}$ zu $\sigma_{s,max} = f_{yd}$ .
Der Rissabstand kann als $s_{rm} = \dfrac{Ø f_{ct} (1-\rho_{eq})}{2 \tau_{b0}\rho_{eq}}$ angenommen werden, wobei die Verbundschubspannungen nach Zugurtmodell $\tau_{b0}= 2f_{ct}$ und $\tau_{b1}= f_{ct}$ sind.
In der Lehrapplikation Zuggurtmodell sind diese Formeln ebenfalls hinterlegt.
Der äquivalente Bewehrungsgehalt kann wie folgt bestimmt werden:

$\begin{align*} \rho_{eq} & = \left( \dfrac{M_r (d-x) E_s}{f_{ct} EI^{II}} + 1 - n \right)^{-1} \\& =\left( \dfrac{M_r }{A_s (d-x/3) f_{ct}} + 1 - n \right)^{-1}\end{align*}$

( $n=E_s/E_c$ , $M_r$ = Rissmoment)

Das Zuggurtmodell wurde zur Definition der Faktoren $TS_{Mu}$ und $TS_{My}$ benutzt.
Zur Berechnung dieser Faktoren müssen der Rissabstand nach EN 1992-1-1:2023 und die Stahlspannung $f_{s,ef}$ und -dehnung $\varepsilon_{ud,ef}$ bei Erreichen des Biegewiderstands, unter Berücksichtigung der Verfestigung bestimmt werden (bilineares Stoffgesetz). Bei Versagen durch Reissen der Bewehrung ist $f_{s,ef} = f_{td}$ und $\varepsilon_{ud,ef} = \varepsilon_{ud}$ .
Bei Betondruckzonenversagen hängt $f_{s,ef}$ von $\varepsilon_{cu,d,\rho_w}$ und von der Betondruckzonenhöhe ab und kann (unter Annahme eines linearen Dehnungsverlaufs im gerissenen Querschnitt) iterativ bestimmt werden.

Vergleich mit experimentellen Daten

Abbildung 3 vergleicht das (in Versuchen an durchlaufenden (a)-(c) und einfach gelagerten (d)-(f) Balken und Plattenstreifen) gemessene Rotationsvermögen $\theta_{plu,exp}$ mit dem berechneten Rotationsvermögen $\theta_{plu,calc}$ nach Sigrist und Marti (a),(d), EN 1992-1-1:2023 (b),(e) sowie nach EN 1992-1-1:2023 bei Vernachlässigung der Schubbewehrung ( $\rho_w$ = 0, siehe vorherigen Abschnitt) (c),(f). Versagen durch Reissen der Bewehrung ist mit gefüllten Symbolen gekennzeichnet, Versagen durch Bruch der Betondruckzone mit leeren Symbolen.

Abbildung 3: Vergleich des experimentell und rechnerisch bestimmten Rotationsvermögens: (a)-(c) Versuche an durchlaufenden Balken und Plattenstreifen; (d)-(f) Versuche an einfach gelagerten Balken und Plattenstreifen.

Abbildung 3 zeigt, dass die Methode nach Sigrist und Marti generell auf der sicheren Seite liegt. Die Methode nach EN 1992-1-1:2023 liegt bei Versagen durch Reissen der Bewehrung ebenso auf der sicheren Seite, bei Versagen durch Bruch der Betondruckzone jedoch in vielen Fällen nicht. Dies kann zum Teil behoben werden, indem die Schubbewehrung bei der Berechnung der Betondruckdehnung vernachlässigt wird (Abbildung 3 (c), (f)).

Dieser Blogpost in Kürze

Der Nachweis des Verformungsvermögens kann, falls erforderlich, durch den Vergleich des Rotationsbedarfs mit dem Rotationsvermögen im plastischen Gelenk geführt werden.
Das Rotationsvermögen kann vereinfacht durch Multiplikation einer idealisierten plastischen Gelenklänge mit der mittleren plastischen Krümmung im massgebenden Querschnitt bestimmt werden
Hierfür können die Methoden nach Sigrist und Marti oder nach EN 1992-1-1:2023 (in Formel (7.20) $\rho_w = 0$ setzen) verwendet werden.

Weiterführende Literatur

Neben den im Blogpost bereits angegebenen Quellen möchte ich auch auf mein letztes Paper zu diesem Thema verweisen. Das Paper «Rotation Capacity of Continuous Reinforced Concrete Slab Strips Revisited» enthält unter anderem

Informationen zu den experimentellen Daten anderer Autoren aus Abbildung 3,
neue experimentelle Daten aus einer eigenen Versuchreihe,
Angaben zur experimentellen Bestimmung des Rotationsvermögens mithilfe digitaler Bildkorrelation (DIC),
zwei weitere Ansätze zur rechnerischen Bestimmung des Rotationsvermögens (die auf Formel (1) basieren) und
die vereinfachte Bestimmung von Sicherheitsfaktoren für die praktische Nutzung der jeweiligen Ansätze

Es ist hier frei verfügbar.

Nathalie Reckinger

Sigrist und Marti	EN 1992-1-1:2023
$\theta_{plu} = d \left( \min \left( \dfrac{\varepsilon_{smu}}{d-x}, \dfrac{\varepsilon_{cmu}}{x} \right) - \dfrac{\varepsilon_{smy}}{d-x} \right)$	$\begin{align}\theta_{plu} = & \dfrac{1}{\gamma_\theta} \cdot 1.3d \biggl(TS_{Mu} \min \left(\dfrac{\varepsilon_{ud}}{d-x_u}, \dfrac{\varepsilon_{cu,d,\rho_w}}{x_u} \right) \\ & - TS_{My} \dfrac{\varepsilon_{yd}}{d-x } \biggr) \quad \text{Formel (7.18)}\end{align}$
Somit: idealisierte plastische Gelenklänge $L_{pl,id} = d$	$L_{pl,id} = 1.3 d$
Mittlere Krümmung bei Versagen $\chi_{m,u}(x_{gov}) = \min \left( \dfrac{\varepsilon_{smu}}{d-x}, \dfrac{\varepsilon_{cmu}}{x} \right)$	$\chi_{m,u}(x_{gov}) = TS_{Mu} \min \left(\dfrac{\varepsilon_{ud}}{d-x_u}, \dfrac{\varepsilon_{cu,d,\rho_w}}{x_u}\right)$
Mittlere Krümmung bei Fliessbeginn $\chi_{m,y}(x_{gov}) = \dfrac{\varepsilon_{smy}}{d-x}$	$\chi_{m,y}(x_{gov}) = TS_{My} \dfrac{\varepsilon_{yd}}{d-x }$

Sigrist und Marti	EN 1992-1-1:2023
$\varepsilon_{cmu} = 0.0035$	$\varepsilon_{cu,d,\rho_w} = 0.002 + \dfrac{1.35}{d}+3\rho_w \leq 0.015$ Dabei muss $d$ in mm eingesetzt werden. Empfehlung: Schubbewehrungsgehalt $\rho_w$ = 0 setzen, sogar wenn Schubbewehrung vorhanden ist, da das Rotationsvermögen sonst in vielen Fällen überschätzt wird (siehe Abbildung 3)