Kombination von Maschinellem Lernen und der Nichtlinearen Finite Elemente Methode für Stahlbetonscheiben – Concrete E-Learning Platform

Link to English version: Combining Machine Learning and the Nonlinear Finite Element Analysis for Reinforced Concrete Membranes

Aus meinen bisherigen Blogposts mögen Sie sich vielleicht daran erinnern, dass sich meine Forschung auf die Entwicklung eines Ansatzes zur Integration von maschinellem Lernen (ML) in die Finite Elemente Analyse (FEA) von Stahlbetonbauten beschäftigt. In diesem Blogpost werde ich die Entwicklung des neuen sogenannten «Stahlbeton-Ersatzmodell» für Scheiben im ebenen Spannungszustand darlegen. Abbildung 1 zeigt eine Übersicht meiner bisherigen Forschung und welche Blogposts Sie nochmals nachlesen können, falls Sie die bisherige Arbeit nachvollziehen möchten.

Abbildung 1: Übersicht meiner bisherigen Forschung (Blogpost 1: hier, Blogpost 2: hier); Das Thema dieses Blogposts ist durch die gelbe Umrandung gekennzeichnet.

Als erster Teil der Forschung wurden Technologien des maschinellen Lernens für die Analyse von Stahlbetonbalken betrachtet, wofür ein physik-informiertes neurales Netz (PINN) für einen partiell gerissenen Stahlbetonbalken entwickelt wurde (Blogpost 1, Abbildung 1). Viele Stahlbetonstrukturen weisen jedoch dünnwandige Flächenelemente als Haupttragelemente auf, zum Beispiel Decken, Fahrbahnplatten von Brücken, Wände oder Stege von Brückenträgern, welche alle mit flächigen Schalenelementen modelliert werden können. Es ist deshalb wichtig, das Tragverhalten solcher Strukturen genau zu verstehen und deren Modellierung mechanisch konsistent durchzuführen, sodass bestehende Strukturen zuverlässig analysiert und neue Bauten effizient entworfen werden können. Um einen sinnvollen ML-FEA Ansatz für diese komplexeren Elemente zu entwickeln, wurde deshalb zuerst ein linear elastisches 3D Schalenelement analysiert (Blogpost 2, Abbildung 1). Bevor nun aber nichtlineare 3D Schalenelemente mit einem solchen ML-NLFEA Ansatz betrachtet werden können, ist ein letzter Zwischenschritt nötig: Die Entwicklung eines ML-NLFEA Ansatzes für nichtlineare 2D Scheibenelemente, welcher als letzter Nachweis der Machbarkeit des ML-NLFEA Ansatzes dient.

Dieser Blogpost präsentiert die Resultate dieser neusten Entwicklung. Das Ziel der Arbeit ist es zu zeigen, dass ein solcher ML Ansatz für nichtlineare 2D Scheibenelemente machbar ist und innerhalb einer einfachen Analyse von eben beanspruchten Bauteilen angewendet werden kann. Abbildung 2 zeigt das Anwendungsbeispiel, das in diesem Blogpost behandelt wird: Eine Scheibe, die mit 100 finiten Elementen modelliert wird und unter reinem Schub beansprucht ist, welche beispielsweise eine tragende Wand eines Gebäudes darstellen könnte. Für das hier gezeigte Beispiel verwenden wir die Länge L = 6 m, diese könnte aber beliebig variiert werden. Das Ziel ist es, die Last-Verformungskurve dieser Scheibe mit dem ML-NLFEA Ansatz zu ermitteln und zur bestehenden NLFEA und den zugrundeliegenden Modellen (d.h. das gerissene Scheibenmodel) zu vergleichen.

Abbildung 2: Anwendungsbeispiel reiner Schub (n_xy)

Damit ein Element im Allgemeinen als Scheibe analysiert werden kann, muss ein kleines Dicken- zu Längen-Verhältnis angenommen werden. Dies führt zu einem ebenen Spannungszustand (d.h. $\sigma_z$ = 0) und einer uniformen Spannungs- und Dehnungsverteilung über die Dicke des Elements. Das zweidimensionale Materialverhalten kann also an jedem Materialpunkt wie folgt ausgedrückt werden:

(1) $\begin{equation*}\{n_x, n_y, n_{xy}\} = [D_m] \{ \hat{\varepsilon}_x,\hat{\varepsilon}_y,\hat{\varepsilon}_{xy} \} \end{equation*}$

Die Spannungs- und Dehnungskomponenten, die in Gleichung (1) genannt wurden, sind in Abbildung 3 schematisch dargestellt.

Abbildung 3: (a) Dehnungs- und (b) Spannungskomponenten am zweidimensionalen Scheibenelement.

Um den Unterschied zwischen der auf dem gerissenen Scheibenmodel basierenden NLFEA und dem neuen ML-NLFEA Ansatz für 2D Scheibenelemente zu verstehen, stellt Abbildung 4 die beiden Analyseverfahren schematisch dar. Die NLFEA selbst (Abbildung 4 (a)) besteht aus mehreren Berechnungsschritten, durch welche iteriert wird, bis das Residuum (Fehler in der Erfüllung der Gleichgewichtsgleichungen) sich an Null annähert. Die Inputparameter, welche später für eine effiziente Struktur optimiert werden können, bestehen aus Materialeigenschaften (z.B. E-Modul $E$ , Poissonzahl $\nu$ , Bewehrungsgehalt $\rho$ und Betonklasse CC) wie auch aus Variablen, die die geometrischen Eigenschaften einer bestimmten Struktur abbilden (z.B. die Dicke $t$ und Länge $L$ ) und zuletzt aus den Last- und Lagerungsbedingungen (z.B. Kraft $\mathbf{F}$ und Randbedingungen). Als Output der NLFEA erhält man die Verschiebungen $\mathbf{u}$ , sowie die generalisierten Spannungs- und Dehnungsverteilungen $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ und $\boldsymbol{\hat{\varepsilon}}$ für jede beliebige Position in der analysierten Struktur.

Abbildung 4: (a) Bestehende NLFEA, (b) ML-NLFEA Ansatz.

Abbildung 4 (b) zeigt die Vorteile der Verwendung eines Ersatzmodells in der NLFEA auf: Ein zuvor nicht kontinuierlich differenzierbarer Ansatz wird mit einem Stahlbeton-Ersatzmodell ausgerüstet, was den gesamten Ablauf differenzierbar und dadurch in Bezug auf die Inputparameter optimierbar macht. Die beiden Hauptanpassungen sind dabei türkis markiert und transformieren die NLFEA in den differenzierbaren ML-NLFEA Ansatz. Dies impliziert, dass das Ersatzmodell die Beziehung zwischen den generalisierten Spannungen und Dehnungen ( $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ und $\boldsymbol{\hat{\varepsilon}}$ ) ersetzt und gleichzeitig aber auch dazu fähig sein muss, die Steifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ korrekt zu approximieren, sodass die Verschiebungen $\mathbf{u}$ daraus bestimmt werden können. Insbesondere dieser letzte Teil der korrekten Vorhersage der Steifigkeitsmatrix stellt eine grosse Herausforderung im Vergleich zur bisherigen Forschung mit linear-elastischem Materialverhalten dar (Blogpost 2). Die beiden türkis markierten Hauptanpassungen können auch folgendermassen analytisch dargestellt werden:

(2) $\begin{align*} \boldsymbol{\hat{\sigma}} & = f_{NN}(\boldsymbol{\hat{\varepsilon}}) & \quad \text{anstelle von } \boldsymbol{\sigma_i} = \mathbf{D_P}\boldsymbol{\varepsilon_i} \text{ und } \mathbf{D_P} = f(\boldsymbol{\sigma_i},\boldsymbol{\varepsilon_i}) \text{ und } \boldsymbol{\hat{\sigma}} = \boldsymbol{\sigma_i} \cdot t \text{)}\\\mathbf{D} & = \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\sigma}}}{\partial \boldsymbol{\hat{\varepsilon}}} = \frac{ f_{NN}(\boldsymbol{\hat{\varepsilon}})}{\partial \boldsymbol{\hat{\varepsilon}}} & \quad \text{anstelle von } \mathbf{D}=\mathbf{D_P}\cdot t \text{ und } \mathbf{D_P} = f(\boldsymbol{\sigma_i},\boldsymbol{\varepsilon_i}) \text{)}\end{align*}$

wobei $f_{NN}$ das differenzierbare Ersatzmodell darstellt und $\mathbf{D_P}$ die Steifigkeit der Scheibe repräsentiert.

Innerhalb der hier präsentierten Forschung wird ein neuronales Netz (NN) als Stahlbeton-Ersatzmodell verwendet. Dafür werden Daten und eine passende Netzwerkarchitektur benötigt. Während mein letzter Blogpost vor allem auf die Datengenerierung fokussierte, werde ich in diesem mehr auf die verwendete Netzwerkarchitektur eingehen und erläutern, wie diese dazu beiträgt, ein passendes differenzierbares Stahlbeton-Ersatzmodell zu erstellen. Trotzdem spielt natürlich auch in diesem Projekt die Datengenerierung eine wichtige Rolle, um gute Vorhersagen der Last-Verformungskurven von Scheiben im ebenen Spannungszustand mittels ML-NLFEA Ansatz zu erhalten.

Ein synthetischer Datensatz (d.h. ein Datensatz, der durch wiederholte Simulationen erstellt wurde) wird für das Training des NN Modells verwendet. Im hier präsentierten Projekt meiner Forschung, wird die Dicke konstant zu $t$ = 300 mm gehalten. Auch der Bewehrungsgehalt $\rho_x$ ist auf 1% festgelegt und die Betoneigenschaften sind auf einen Beton der Stärke C30/37 fixiert. Das Modell hatte also nur vier Inputparameter (drei generalisierte Dehnungen $\boldsymbol{\hat{\varepsilon}}$ und einen variablen Bewehrungsgehalt $\rho_y$ ) und drei Outputparameter (drei generalisierten Spannungen $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ ). Aus den generalisierten Spannungen können die neun Ableitungswerte für jeden Datenpunkt (Steifigkeitsmatrix $\mathbf{D_m}$ ) berechnet werden. Die konstant gehaltenen Werte limitieren natürlich die Generalisierbarkeit der entwickelten Methode, lassen aber dennoch einen Nachweis der Machbarkeit eines solchen ML-NLFEA Ansatzes zu.

Abbildung 5 zeigt die gewählte Netzwerkarchitektur: Die Inputs und Outputs sind anhand der Bedürfnisse des Ersatzmodells definiert. Dazwischen liegt ein sogenanntes mehrschichtiges Perzeptron (engl.: multi-layer perceptron, MLP), welches die lernbaren Parameter (Gewichte und Biase) enthält, so dass das MLP das gewünschte Materialverhalten abbilden kann. Die Verlustfunktion (engl.: Loss function) wird während des Trainings minimiert und besteht hier aus zwei separaten Termen:

$\mathcal{L}_1$ , die Standardverlustfunktion für die generalisierten Spannungen: Diese Funktion bestimmt die Differenz zwischen den vorgegebenen generalisierten Spannungen, die im Datensatz enthalten sind, und den Vorhersagen des NN ( $f_{NN}$ ) für die generalisierten Spannungen.
$\mathcal{L}_2$ , eine zusätzliche Verlustfunktion (“Sobolev loss”) für die Steifigkeiten: Mit automatischer Differenzierung (AD) kann die Ableitung der Outputs ( $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ ) nach den Inputs ( $\boldsymbol{\hat{\varepsilon}}$ ) berechnet werden. Wiederum werden diese Werte mit denen des vorgegebenen Datensatzes verglichen, um eine korrekte Vorhersage der Ableitung der gelernten Funktion $f_{NN}$ sicherzustellen.

Abbildung 5: Netzwerkarchitektur für ein physikbasiertes Ersatz-Materialmodell

Sobald die Netzwerkarchitektur definiert ist, müssen die verstellbaren Hyperparameter iterativ bestimmt werden, sodass das beste Training des Ersatz-Materialmodells gefunden werden kann. Dazu gehören zum Beispiel die Netzwerkbreite $W$ und -tiefe $d$ , wie auch die Sobolev-Gewichte ( $w_1,w_2$ in Abbildung 5) und weitere Parameter wie die Art der Aktivierungsfunktion, die Lernrate, etc. Um die Auswirkung des zusätzlichen Sobolev Losses $\mathcal{L}_2$ auf die Vorhersagegenauigkeit der generalisierten Spannungen $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ zu bestimmen, haben wir uns dessen Einfluss auf die Genauigkeit bei Trainings mit unterschiedlichen Datenmengen genauer angeschaut. Die Genauigkeit der Vorhersage wird dabei mit einem Wurzelquadratfehler (engl.: root mean squared error, RMSE) gemessen, bei dem ein kleinerer Wert eine grössere Genauigkeit bedeutet. Dabei haben wir festgestellt, dass analog zu Beobachtungen in der Literatur, bei kleinen Datenmengen ( $N$ < 1000), der zusätzliche Verlustterm $\mathcal{L}_2$ zu einer Verbesserung der Vorhersagegenauigkeit der generalisierten Spannungen $\boldsymbol{\hat{\sigma}}$ führt. Ab einer gewissen Menge von ca. $N\approx$ 3’000 Datenpunkten, verbessert der zusätzliche Verlustterm $\mathcal{L}_2$ die Vorhersagegenauigkeit jedoch nicht mehr, sondern verschlechtert diese sogar leicht. Diese Beobachtung muss in Zukunft genauer untersucht werden. Das trainierte Modell «NN v480» (inklusive Sobolev Loss und auf $N$ = 3’000’000 Datenpunkte trainiert) wurde für die Weiterentwicklung des ML-NLFEA Ansatzes verwendet, da es eine sehr gute Genauigkeit für die Vorhersage der generalisierten Spannungen aufweist und dennoch die Differenzierbarkeit durch den Sobolev-Term gewährleistet.

Abbildung 6: Vergleich zwischen Vorhersagen der generalisierten Spannungen mit oder ohne Berücksichtigung des Sobolev Loss im Training.

Kommen wir nun zurück zu unserem Anwendungsbeispiel, das ich am Anfang des Blogposts vorgestellt hatte: Die Scheibe unter reiner Schubbeanspruchung, modelliert mit 100 finiten Elementen (siehe Abbildung 2). Für jedes finite Element macht das NN nun Vorhersagen der generalisierten Spannungen und der Steifigkeitsmatrix. Diese Werte werden dann für jede Iteration des ML-NLFEA Ansatzes verwendet (Abbildung 4), welche wiederum in mehreren vorgeschriebenen Lastniveaus ausgeführt werden. In diesem Anwendungsbeispiel wird $n_{xy}$ angepasst, was zu einer Last-Verformungskurve wie in Abbildung 7 (a) dargestellt führt. Die Resultate des ML-NLFEA Ansatzes (in Abbildung 7 mit «NN» bezeichnet) stimmen gut mit den Resultaten der NLFEA überein, wie man auch an den sehr kleinen Abweichungen der Punkte zur 45°-Linie in Abbildung 7 (b) erkennen kann. Somit konnte mit diesem Anwendungsbeispiel die Machbarkeit eines solchen ML-NLFEA Ansatzes bestätigt werden.

Abbildung 7: Last-Verformungskurve der Schubbeanspruchten Scheibe: e repräsentiert den Wurzelquadratfehler («root mean squared error») im Bezug auf die generalisierten Dehnungen

Zu diesem Forschungsthema haben wir eine Studie im Journal «Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering» eingereicht [1]. Darin sind zwölf zusätzliche Anwendungsbeispiele mit unterschiedlichen Lastsituationen analysiert, um die Generalisierbarkeit der Methode zu zeigen. Die Studie wird hier auch verlinkt werden, sobald die offizielle Version publiziert ist – bis dahin freue ich mich auf direkte Anfragen, um allfällige Fragen zu klären. Falls Sie an diesem Thema interessiert waren, folgen Sie gerne unserer Gruppe auf LinkedIn, um die neusten Entwicklungen im Bereich «Maschinelles Lernen für Finite Elemente Analyse von Stahlbeton» nicht zu verpassen!

Vera Balmer

Referenzen

V. Balmer, K. Thoma, A. Näsbom, M.A. Kraus, R. Bischof, W. Kaufmann, S. Coros: “A Differentiable Material Surrogate Model for Nonlinear Reinforced Concrete Membrane Elements in Plane Stress State”, submitted to Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, submitted May 2026 (Under Review).